OSN 2007

Hari Pertama
Soal 1.
Satu set kartu memuat 100 kartu yang masing-masing ditulisi bilangan dari 1 sampai dengan 100.
Pada setiap dua sisi kartu ditulis bilangan yang sama, sisi pertama berwarna merah dan sisi yang lain
berwarna hijau. Pertama-tama Leny menyusun semua kartu dengan tulisan merah menghadap ke
atas. Kemudian Leny melakukan tiga langkah berikut ini:
I. Membalik semua kartu yang nomornya habis dibagi 2
II. Membalik lagi semua kartu yang nomornya habis dibagi 3
III. Membalik lagi semua kartu yang nomornya habis dibagi 5, namun tidak membalik semua
kartu yang nomornya habis dibagi 5 dan 2.
Tentukan banyak kartu Leny sekarang yang bernomor berwarna merah dan menghadap ke atas!

Soal 2.
Hitunglah luas daerah dari tiga daerah setengah lingkaran yang beririsan seperti tampak pada
gambar berikut.

Soal 3. Diketahui bahwa x+1/x = 7
 tentukan A , sehingga (Ax^2)/(x^4+x^2+1)=5/6

Soal 4.
Ada 13 kado berbeda yang akan dibagikan semuanya kepada Ami, Ima, Mai, dan Mia. Jika Ami
mendapat paling sedikit 4 kado, Ima dan Mai masing-masing mendapat paling sedikit 3 kado, dan
Mia mendapat paling sedikit 2 kado, ada berapa banyak susunan kado yang mungkin diperoleh?

Soal 5.
Suatu bilangan asli disebut bilangan kuaprim jika memenuhi keempat syarat berikut.
(i) Tidak memuat angka nol.
(ii) Angka-angka penyusun bilangan itu berbeda.
(iii) Satu angka pertama dan satu angka terakhir merupakan bilangan prima atau bilangan kuadrat.
(iv) Setiap pasang angka berurutan membentuk bilangan prima atau bilangan kuadrat

Sebagai contoh, kita periksa bilangan 971643.
(i) 971643 tidak memuat angka nol.
(ii) Angka-angka penyusun 971643 berbeda.
(iii) Satu angka pertama dan satu angka terakhir dari 971643, yaitu 9 dan 3 merupakan bilangan
prima atau bilangan kuadrat.
(iv) Setiap pasang angka berurutan, yaitu 97, 71, 16, 64, dan 43 membentuk bilangan prima atau
bilangan kuadrat.
Jadi 971643 merupakan bilangan kuaprim.
Carilah bilangan kuaprim 6-angka paling besar.
Carilah bilangan kuaprim 6-angka paling kecil.
Angka berapa yang tidak pernah termuat dalam sebarang bilangan kuaprim? Jelaskan.


Soal 6.
Empat bangun berbentuk layang-layang seperti gambar berikut (a > b , a dan b bilangan asli kurang
dari 10) ditata sedemikian rupa sehingga membentuk persegi dengan lubang berbentuk persegi pula
di tengah-tengahnya. Lubang berbentuk persegi di tengah-tengah tersebut memiliki keliling 16 satuan
panjang. Berapakah keliling yang mungkin diperoleh dari persegi terluar yang terbentuk jika
diketahui pula bahwa a dan b adalah bilangan-bilangan yang relatif prima.

Soal 7.
Jika a = 3^p, b = 3^q, c = 3^r, dan d = 3^s dan jika p, q, r, dan s adalah bilangan asli, berapakah nilai terkecil
dari p.q.r.s yang memenuhi a^2 + b^3 + c^5 = d^7

Soal 8.
Ucok bermaksud menyusun suatu kode kunci (password) yang terdiri atas 8 angka dan memenuhi
ketentuan berikut:
i. Angka yang dipakai adalah 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, dan 9.
ii. Angka pertama yang dipakai adalah minimal 1, angka kedua minimal 2, angka ketiga-minimal
3, dan seterusnya.
iii. Angka yang sama bisa digunakan beberapa kali.
a) Berapa banyak password berbeda yang mungkin disusun Ucok?
b) Berapa banyak password berbeda yang mungkin disusun Ucok, jika ketentuan (iii) diganti
dengan: tidak boleh ada angka yang digunakan lebih dari satu kali.

Soal 9.
Untuk sebarang bilangan bulat a, b, dan c berlaku:
a x (b + c) = (a x b) + (a x c).
a) Cari contoh yang menunjukkan bahwa:
a + (b x c) tidak sama dengan (a + b) x (a + c).
b) Kapan berlaku:
a + (b x c) = (a + b)x(a + c)?
Jelaskan jawaban Anda.

Soal 10.
Hasil survey terhadap N orang dengan pertanyaan apakah mereka memelihara anjing, burung, atau
kucing dirumah adalah sebagai berikut: 50 orang memelihara burung, 61 orang tidak memelihara
anjing, 13 orang tidak memelihara kucing, dan paling sedikit ada 74 orang yang memelihara paling
sedikit dua jenis binatang di rumah. Berapakah nilai maksimum dan minimum dari nilai N yang
mungkin?


sumber : olimatik.blogspot.com
salam matematika